annoyはing形になったり、過去分詞形になったりして使い方が変わります！
まずは普通にannoyの使い方から見ていきましょう！
They are trying to annoy me.「彼らは私をいらだたせようとしている。」
It really annoys me when people use cell phones on the train.「電車内で携帯を使っている人を見ると本当にイライラする。」
のように使います。
次に、annoyingについてみていきましょう！
意味は、形容詞の意味になって「いらだたせるような」という風になります。
He is annoying.「彼は腹立たしい。」
That movie was annoying.「あの映画は腹立たしかった。」
I have an annoying habit of making fun of my friend.「私は友達をからかうというイライラさせるようなクセがある。」（habit「クセ」、make fun of A「Aをからかう」）
次は、annoyedです！意味は形容詞の意味で「イライラさせられた」です。
I was annoyed by him.「私は彼にイライラさせられた」
I was annoyed at Ken’s rudeness.「私はケンの失礼な態度にイライラした。」（「～にイライラさせられた」＝「～にイライラした」）
annoyedの次にはby,at,with,aboutなど、様々なものがきます。
ここまでで、annoyの説明は終わりですが、一つ知っておいたほうが良いことがあります。
今回のように、ingがついたり過去分詞になったりすることで意味が規則的に変わる動詞がほかにもたくさんあり、それらには法則性があるのです！
知っておいてほしいことは、ing形（現在分詞という）にすると「～させるような」の意味になり、過去分詞形にすると受け身のニュアンスが入り「～させられている」という意味になることです！
例えば、surprise「～を驚かせる」（「驚く」という意味はありません）については、
surprisingで「驚かせるような」という意味になり、surprisedで「驚かせれている」→「驚いている」となります！
bore「～を退屈させる」については
boringで「退屈させるような」という意味になり、boredで「退屈させられている」→「退屈している」です。
excite「～をワクワクさせる」（「ワクワクする」という意味はありません）については、
excitedで「ワクワクさせるような」で、excitedで「ワクワクさせられている」→「ワクワクしている」となります。
つまり、「私はワクワクしています」といいたいとき、
I am exciting!
と言ってはいけないということです。これだと「私はワクワクさせるような人です」という意味になります。
I am excited!
で「私はワクワクしている」になります。
逆に、「あの映画はワクワクさせるようなものだった」といいたいとき、
That movie was excited.
にしてはいけません。「あの映画はワクワクしていた」となりますから(笑)
That movie was exciting.
で「あの映画ワクワクさせるようなものだった」となります。
この違いは理解しといたほうがいいですね。
以上です！